Danscette vidéo, vous allez voir deux méthodes pour calculer une somme et une moyenne sur Excel, à partir de données saisies.Elle vous montre aussi comment Grâceau crible ou tout autre moyen, listons les nombres premiers plus petits que 200 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, Lecalculateur est en mesure de calculer le produit des termes d'une suite compris entre deux indices de cette suite. Ainsi, pour obtenir le produit des termes d'une suite définie par u n = n 2 entre 1 et 4 , il faut saisir : produit ( n; 1; 4; n 2) après calcul, le résultat 576 est retourné, ∏ n = 1 4 n 2 = 1 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 Étape2 : Processus de commande. La fabrication efficace repose sur la demande de produits finis et l’offre des fabricants. L’une des premières étapes clés du cycle de fabrication est la passation de commandes pour la fabrication d’une certaine quantité de produits. L’efficacité de ce cycle de fabrication est facilement compromise Calculonsla limite quand n tend vers +∞ de S = 1 + 0,3 + 0,3 2 + 0,3 3 + + 0,3 n. Ici, on a une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme 1. Çay est, vous visualisez la courbe des intérêts composés sur une longue période. Le graphique ci-dessus montre à quoi ressemble une croissance dite « exponentielle » sur 30 ans à différents taux de rendement , allant de 1 % Mathématiques3e. Attention : un carré ne se distribue pas sur une somme. Dans cette vidéo, revois cette formule et son application avec Fanny, professeure de maths. Cette identité remarquable est la première des trois identités remarquables à connaître par cœur. Indispensable en classe de 3 e ! Commentcalculer l’indice Insee d’une pension alimentaire ? Si le montant de la pension pour l’année 2020 est de 300 €, que le nouvel indice mensuel est 105,55 et que l’ancien indice mensuel est de 104,04, le calcul sera le suivant : 3,,,35.. Quel est l’indice pension alimentaire 2021 ? Ce qui donne un nouveau montant égal à 5/103,,73 euros. Enthéorie des cordes bosoniques, on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de D – 2 oscillateurs harmoniques quantiques indépendants, un pour chaque direction transverse, où D est le Savoircomment calculer 30 % d’un montant peut être d’une aide précieuse pour prendre la décision d’acheter un produit à prix réduit. Découvrez la calculatrice de pourcentages pour connaître le prix final du produit désiré ou lisez ce qui suit si vous voulez savoir comment obtenir 30 % d’un nombre à la main. jsnTdP. Un livre de Wikilivres. Algorithmique impérative Sommaire Avant-propos Théorie de l'algorithmique impérative Qu'est ce qu'un algorithme impératif Les types, les opérateurs et les expressions Les constantes, les variables Les instructions, les blocs d'instructions L'assignation Les exécutions conditionnelles Les structures itératives Les tableaux Les procédures et les fonctions Le type enregistrement L'algorithme au final vue d'ensemble Exercices Outils de travail La rédaction d'un algorithme Travaux pratiques tester un algorithme sur une machine Guide de traduction Pascal Problèmes posés, analysés, résolus et commentés Inverser deux variables Un menu de sélection simple Somme des n premiers entiers PGCD de deux nombres Trier un tableau Rechercher un élément dans un tableau Jeu du Tas de billes Quiz Solutions d'un polynôme Écarts entre les éléments d'un tableau Annexes L'algorithmique impérative, et après ? Perspective sur la suite des évènements... Ressources externes bibliographie, liens... Modifier ce modèle ce sommaire Problématique[modifier modifier le wikicode] Écrire un algorithme sous forme d'une fonction qui calcule la somme des premiers entiers jusqu'à n inclus, n étant passé en paramètre. Exemple somme5 calculera 1+2+3+4+5 et renverra donc 15 Solution[modifier modifier le wikicode] Voici une première réponse acceptable Function sommen entier Lexique somme entier * la somme qu'on complète au fur et à mesure et qu'on retournera à la fin * Début somme=0 POUR i de 0 à n somme=somme+i FP retourner somme Fin Pourquoi partir de 0 et pas 1 ? Cela sert tout simplement à gérer le cas n=0. Cela ne change rien pour les autres cas puisque en reprenant l'exemple de la problématique somme5 va calculer 0+1+2+3+4+5, c'est à dire 1+2+3+4+5 =15. Cependant, la boucle peut partir de 1 si elle ne s’exécute pas pour n=0. Dans ce cas, la somme sera 0 valeur initiale de la variable somme. Remarque[modifier modifier le wikicode] Essayons une analyse un peu plus mathématique du problème En fait notre fonction calcule pour n . L'étude des séries nous apprend que . On peut en déduire que la fonction peut s'écrire Function somme_directen entier Début retourner n*n+1/2 Fin Ce qui d'une part est plus simple mais également, comme nous allons le voir, plus efficace. Simplifions le fonctionnement d'une machine au maximum supposons qu'il faut une unité de temps au processeur pour effectuer un calcul et qu'une opération entière et l'assignation consistent toutes en 1 calcul. Supposons que nous voulions calculer somme1000 Avec somme nous allons effectuer 1000 incrémentation de i 1000 sommes somme+i 1000 assignation Soit au moins 3000 calculs. Avec somme_directe nous allons effectuer une somme n+1 une multiplication n*n+1 une division par 2 Soit 3 calculs. Conclusion 3000 calculs pour le premier algorithme, 3 calculs pour le second. La différence entre les deux le mathématicien qui doit se retrouver en chaque algorithmicien. Et dire que de nombreux étudiants en informatique sont souvent étonnés de la présence importante de mathématiques durant leur cursus... pour info Wikilivres propose des cours de mathématiques... Calcul de sommes Enoncé Calculer $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{-1^n}{n^2-1}$. On justifiera la convergence de la série. Enoncé Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ pour $n\geq 2$ est convergente, et calculer sa somme. Enoncé Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$. Enoncé Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&& \displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}. \end{array}$$ Enoncé En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln1+t}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$. Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_nt=S_n-\frac{\pi^2}6$$ où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $\dis \arctan\left\frac{1}{k^2+k+1}\right.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $$u_n=\frac{-1^n}{n+-1^n}.$$ Comparaison à une intégrale Enoncé Soit $\alpha\in\mathbb R$. Pour $\alpha1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^{\alpha}}.$$ Soit $a\in\mathbb R$. Déterminer $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire un équivalent simple de $R_n$. Enoncé Déterminer un équivalent simple de $\lnn!$. Enoncé Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$ Estimation des sommes partielles et du reste Enoncé Écrire un algorithme donnant un encadrement à $10^{-5}$ près de $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^n}{n\lnn+1}$. Enoncé Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{2n-15^{2n-1}}$. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près. Enoncé Pour tout entier naturel non nul, on note $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k,\ f_n=H_n-\ln n.$$ On considère également les suites $u_n_{n\geq 1}$ et $v_n_{n\geq 1}$ définies pour $n\geq 1$ par $$u_1=1\textrm{ et pour }n\geq 2, u_n=\frac 1n+\ln\left1-\frac 1n\right;$$ $$v_n=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 1$, on a $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. Justifier que les séries $\sum_{n}u_n$ et $\sum_n v_n$ sont convergentes. Dans la suite de l'exercice, on notera $\gamma=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$. Exprimer, pour $n\geq 2$, $f_n-f_{n-1}$, en fonction de $u_n$. En déduire que $f_n$ converge vers $\gamma$. Quel est le signe pour $n\geq 2$ respectivement pour $n\geq 1$ de $u_n$ respectivement de $v_n$? Démontrer que, pour tout $N\geq 2$, $$\sum_{n=2}^N \big\lnn+1+\lnn-1-2\lnn\big=\lnN+1-\lnN-\ln2.$$ On note, pour $N\geq 1$, $S_N=\sum_{n=1}^N u_n$ et $T_N=\sum_{n=1}^N v_n$. Déduire des deux questions précédentes que les suites $S_N$ et $T_N$ sont adjacentes, de limite $\gamma$. En utilisant les suites $S_N$ et $T_N$, écrire une fonction Python \verb+gammaeps+ qui donne un encadrement de $\gamma$ d'amplitude inférieur ou égal à $eps$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on note $H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. On pose pour $n\geq 1$, $v_n=H_n-\lnn+1$. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right$. Étudier la monotonie de $v_n$. En déduire que $v_n$ est convergente. On note $\gamma$ sa limite et on pose pour $n\geq 1$, $w_n=H_n-\lnn+1-\gamma$. Vérifier que, pour tout $x\geq 0$, $$\ln1+x=x-\int_0^x \frac{x-t}{1+t^2}dt.$$ En déduire que, pour tout $x\geq 0$, $$\left\ln1+x-x\right\leq\frac{x^2}2.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $$\leftw_n-w_{n-1}\right\leq \frac{1}{2n^2}.$$ Soit $M>N\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=N+1}^M \frac1{k^2}\leq \frac1{N}.$$ En déduire, sous les mêmes hypothèses, que $$w_M-w_N\leq \frac1{2N}$$ puis que $$v_N-\gamma\leq \frac{1}{2N}.$$ Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-3}$ près. Enoncé On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $u_n$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left\frac1n\right$. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de la somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$ Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire que $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{\alpha-1n^{\alpha-1}}.$$ Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_ntdt=S_n-\frac{\pi^2}6.$$ Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left\frac 1n\right.$$ Enoncé Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $u_n_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}-1^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}-1^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $u_n$ vérifie les deux conditions suivantes $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $R_n+R_{n+1}=u_{n+1}$. Démontrer que la suite $R_n$ est décroissante. En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{-1^{n+1} u_n}2.$ Objectifs Être capable de trouver le double, la moitié, le triple ou le quart d'un nombre entier. 1. Calculer le double d'un nombre Pour calculer le double d'un nombre, il suffit de le multiplier par 2. Exemple 12 × 2 = 24. 24 est le double de 12. On utilise également l'expression "deux fois plus" pour demander le double de quelque chose. ExempleDonne moi deux fois plus de tomates que de carottes = donne moi le double de tomates par rapport aux carottes. 2. Calculer la moitié d'un nombre Pour trouver la moitié d'un nombre, il suffit de le diviser par deux. Exemple je cherche la moitié de 10. 5 est la moitié de 10. On utilise également l'expression "deux fois moins" pour demander la moitié de quelques chose. Exemple J'ai deux fois moins de pièces que de billets = mon nombre de pièces est la moitié de mon nombre de billets. Application Paul et Lucie se retrouvent pour le goûter. Lucie a 4 barres de chocolats et Paul lui demande de lui donner la moitié de son goûter. Combien va-t-elle lui donner de barres de chocolats ? Réponse Elle va lui donner 2 barres de chocolat. 3. Calculer le triple d'un nombre Pour calculer le triple d'un nombre, il faut le multiplier par 3. Exemple Le triple de 4 est 4 × 3 = 12. Ainsi, 12 est le triple de 3. On utilise également l'expression "trois fois plus" je voudrais trois fois plus de billes = je voudrai le triple de billes. Application Andréa et Noa jouent aux billes. Noa a 10 billes, Andréa le triple. Combien a-t-elle de billes ? Réponse Il a 30 billes. 4. Calculer le quart d'un nombre Pour calculer le quart d'un nombre, il faut le diviser par 4. Exemple Pour calculer le quart de 16, il faut le diviser par 4. 4 est le quart de 16. On utilise également l'expression "quatre fois moins" pour demander le quart de quelque chose. Application Combien de pains au chocolat a-t-elle commandé ? Réponse Elle a commandé 2 pains au chocolat. Je retiens Pour calculer le double d'un nombre, on le multiplie par 2. Pour calculer la moitié d'un nombre, on le divise par 2. Pour calculer le triple d'un nombre, on le multiplie par 3. Pour calculer le quart d'un nombre, on le divise par 4. Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours ! 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